අපේ ම නොවන අපේ ගණිතය
අප කලින් දවසක (!5 වැනි දා) කතා කළා ගණිතයේ සාපේක්‍ෂ බව
ගැන. ප්ලේටෝගේ සිට මෙයිසු ද කවු ද දක්වා බටහිර දාර්ශනිකයන් හිතන්නෙ ගණිතය අපෙන්
තොරව පවතින බවත් එය සත්‍ය බවත්. ප්ලේටෝ
විඥානවාදියකු ලෙස හංවඩු ගැසුණත් ඔහුත් ද්‍රව්‍යවාදියෙක්. ඔහුගේ අර සුප්‍රසිද්ධ
ගුහාවේ කතාවෙන් කියැවෙන්නේ ඊනියා යථාර්ථයක් පවතින බවත් අපට දැනගැනීමට හැකිවන්නේ
එහි හෙවනැල්ල පමණක් බවත්. මේ ඊනියා යථාර්ථය අපට දැනගැනීමට නොහැකි බව ඔහුගේ කතාවෙන්
කියැවෙනවා.
ගණිතය ගැන පැරණි ග්‍රීකයන්ට තිබුණේ සුන්දර දිව්‍යමය වූ සත්‍යයක් වැනි
හැඟීමක්. එහෙත් එහි සත්‍යය කියන්නත් අපට සාපේක්‍ෂ බව කියන්නයි ත්‍රිකෝණයක කෝණ තුනේ
එකතුව ලිපියෙන් තැත් කෙළේ. ඒ නිගමනය වෙනත් උපකල්පන මත රැඳෙන බව එහි කියා ඇති. ඉන්
ප්‍රධාන ම උපකල්පනයක් වන්නේ දෙන ලද සරල රේඛාවකට සමාන්තර ව එය මත නොපිහිටි ලක්‍ෂ්‍යයක්
ඔස්සේ ඇඳිය හැක්කේ එක ම එක සරල රේඛාවක් පමණක් ය යන්න. මෙය යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියේ
ස්වසිද්ධියක් ලෙසයි ගැනෙන්නේ. එයට සමාන්තර ස්වසිද්ධිය කියලත් කියනවා.
ස්වසිද්ධියක් කියන්නේ අනෙක් ස්වසිද්ධිවලින් අනුමාන නීති යොදා ගෙන ලබා
ගන්න බැරි ප්‍රස්තුතයක් (ප්‍රකාශයක්) . ඒ කිසිම ස්වසිද්ධියක් සාධනය (ඔප්පු) කරලා
නැහැ. ඒවා සත්‍ය ලෙස පිළිගැනෙනවා. එයත් උපකල්පනයක්. අනුමාන නීතිත් ඔප්පු කරලා
නැහැ. ඒත් ඒවා යොදාගෙන යම් යම් දේ ඔප්පු කරනවා! අපට කියන්න තියෙන්නෙ දෙවියන්ට ම
ඔප්පු වෙච්චාවෙ කියලා විතරයි.
යුක්ලීඩිය ජ්‍යාමිතිය නිර්මාණය කරපු ග්‍රීකයන්ටත් ඉන් පසුව හිටිය
බටහිර ගණිතඥයන්ටත් සමාන්තර ස්වසිද්ධිය හිසරදයක් වුණා. ඔවුන් එහි අමුත්තක් දැක්කා.
ඔවුන් හිතුවෙ ඒ ස්වසිද්ධිය අනෙක් ස්වසිද්ධිවලින් ලබාගන්න (නිගමනය කරන්න) පුළුවන්
කියලා. බොහෝ ගණිතඥයන් වෙහෙසුණා සමාන්තර ස්වසිද්ධිය අනෙක් ස්වසිද්ධිවලින් ලබා ගන්න.
එහෙත් ඒ සියලු උත්සාහ අසාර්ථක වුණා. ගණිතඥයන් බැරිම තැන දහනවවැනි සියවසේ හිසරදේට
කොට්ට මාරු කළා.
ඔවුන් ඒ ස්වසිද්ධිය තබාගෙන වෙනත් ස්වසිද්ධි දෙකක් මත පදනම් ව වෙනත්
ජ්‍යාමිති නිර්මාණය කළා. ගණිතඥයන් කෙළේ
සරල රේඛාවකට සමාන්තර ව ඒ මත නොපිහිටි ලක්‍ෂ්‍යයක් ඔස්සේ ඇඳිය හැක්කේ එක ම එක
සමාන්තර රේඛාවක් ය යන්න වෙනුවට සමාන්තර රේඛා ඕනෑ තරම් ඇඳිය හැකිය කියා හෝ එක
සමාන්තර රේඛාවක්වත් ඇඳිය නොහැකිය කියා හෝ ස්වසිද්ධි දෙකක් නිර්මාණය කිරීමයි. මේ
ස්වසිද්ධි මත පදනම් වූ ජ්‍යාමිතිවලට නිර්යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිති කියල කියනවා.
මේ අලුත් ස්වසිද්ධි මත පදනම් ව ගොඩ නැගෙන්නෙ වෙනත් ජ්‍යාමිති.
යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියෙ සමාන්තර සරල රේඛා දෙකක් තිර්යක් (හරස්) රේඛාවකින් ඡෙදනය වූ
විට ලැබෙන අනුරූප කෝණ සමාන වෙනවා. සාමාන්‍ය පෙළ වෙනකන් ඉගෙන ගත්ත අය දන්නවා අනුරූප
කෝණ කියන්නෙ මොනවා ද කියා. නිර්යුක්ලීඩිය ජ්‍යාමිතිවල සමාන්තර රේඛා එකිනෙක හමුවෙන්න පුළුවන්! ඒ සරල රේඛාවලට
නිර්යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතිවල කියන්නෙ භූමිතික (geodesics) කියලා. නිර්යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතිවල
සමාන්තර භූමිතික ඡේදනය වෙන්න පුළුවන්.
අපේ පෘථිවි ගෝලය ගනිමු. එය තලයක් නො වෙයි. එහෙත් එය ද්විමාන
පෘෂ්ඨයක්. ඒ කියන්නෙ ඒ ගෝලාකාර බිමේ මාන දෙකයි තියෙන්නෙ කියන එකයි. අපට ඕන නම්
බිමේ උතුරට හරි දුකුණට හරි යන්න පුළුවන්. නැත්නම් බටහිරට හරි නැගෙනහිරට හරි යන්න
පුළුවන්. උඩට හරි යටට හරි යන්න බැහැ. උඩට ගියොත් අහසට යන්න වෙන්නෙ. එවිට අර බිමෙන්
ඉවත් වෙනවා. යටට ගියොත් අපායට යන්න පුළුවන්. පඬියන් අපායට තමයි යන්නෙ. කවුරු හරි
පඬියකු කියන්න පුළුවන් යටට ගියත් ඒ පොළොව ම නේ ද කියා. ඒ පෘථිවි ගෝලය නො වෙයි. එය
ගෝලය ඇතුළෙ තියෙන්නක්. ගෝලය කියන්නෙ පෘෂ්ඨයක්. පාපන්දුවක් වගේ. ගෝලයක් තියෙන්නෙ ත්‍රිමාන
අවකාශයක. එහෙත් එය ද්විමානයි. ගෝලයක් අර්ථ දක්වන්න පුළුවන් නිශ්චිත ලක්‍ෂ්‍යයක සිට
ත්‍රිමානයෙහි සම දුරින් පිහිටි ලක්‍ෂ්‍යවල කුලකය කියලා. නිශ්චිත ලක්‍ෂ්‍යයක සිට
ද්විමානයෙහි සමදුරින් පිහිටි ලක්‍ෂ්‍යවල කුලකයට කියන්නෙ වෘත්තයක් කියලා.
ගෝලයක තල හරස්කඩවලින් ලැබෙන්නෙ වෘත්ත. අපේ පෘථිවි ගෝලයෙ (අපේ කිවුවට
අපේ නොවෙයි. බටහිරයන්ගෙ ආධිපත්‍යයෙහි) එකම අක්‍ෂාංශකයක පිහිටි ලක්‍ෂ්‍ය තියෙන්නෙ
වෘත්තයක. දොඩම් ගෙඩියක් අරගෙන පෙති ගැහුවොත් ලැබෙන වස්තුවල වෘත්ත වගේ.
හරස්කඩය ගෝලයේ කේන්ද්‍රය හරහා යන විට
ලැබෙන්නෙ මහා වෘත්තයක්. පෘථිවි ගෝලයේ නම් දේශාංශකවලින් ලැබෙන්නෙ මහා වෘත්ත. නිරක්‍ෂයත්
එක් මහා වෘත්තයක්. මහා වෘත්ත තමයි ගෝලයක භූමිතික. ගෝලයක පිහිටි ලක්‍ෂ්‍ය දෙකක් අතර
කෙටිම දුර තියෙන්නෙ භූමිතිකයක දිගේ. හරියට යුක්ලීඩිය ජ්‍යාමිතියෙහි සරල රේඛා දිගේ
වගේ. මතක තියා ගන්න ගෝලයක ලක්‍ෂ්‍ය දෙකක් අතර කෙටිම දුර බලන්න වෙන්නෙ ගෝලය මත ම
කියලා. ගෝලය පසාරු කර ගෙන ගිහින් ලක්‍ෂ්‍ය දෙක යා කරන්න බැහැ.
නිරක්‍ෂයෙන් දේශාංශක ඡෙදනය වන විට නිරක්‍ෂය හා අදාළ දේශාංශකය අතර ඇති
කෝණය සෘජු කෝණයක්. මේ දේශාංශක එකිනෙකට සමාන්තරයි. හරස් භූමිතිකයකින් (නිරක්‍ෂයෙන්)
දේශාංශක ඡෙදනය වූ විට ලැබෙන අනුරුප කෝණ සමානයි. එහෙත් මේ දේශාංශක උත්තර ධ්‍රැවයෙහි
හරි දක්‍ෂිණ ධ්‍රැවයෙහි හරි මුණ ගැහෙනවා. වෙනත් විධියකට කියනවා නම් උත්තර ධ්‍රැවය
හරා එකිනෙකට සමාන්තර රේඛා (භූමිතික) රාශියක් අඳින්න පුළුවන්!
ඒ විතරක් නොවෙයි. ප්‍රභින්න (වෙනස්) දේශාංශක දෙකකින් හා නිරක්‍ෂයෙන්
ලැබෙන ත්‍රිකෝණයෙහි කෝණ තුනේ එකතුව අංශක 180ට වැඩියි. දේශාංශකයක් හා නිරක්‍ෂය අතර කෝණයක් අංශක 90ක්. එවැනි කෝණ දෙකක එකතුව අංශක 180යි. එයට අමතර ව ධ්‍රැවයක දි දේශාංශක දෙකක් අතර තවත් කෝණයක්
තියෙනවා. එවිට කෝණ තුනේ ම එකතුව අංශක 180ට වැඩියි.
මෙයින් කියන්නෙ මොකක් ද? සමාන්තර
ස්වසිද්ධිය වෙනස් කළ විට ත්‍රිකෝණයක කෝණ තුනේ එකතුව අංශක 180ට වැඩි වෙනවා. රේඛාවකට සමාන්තරව ඒ මත නොපිහිටි
ලක්‍ෂ්‍යයක් හරහා රේඛා එකක්වත් අඳින්න බැහැ කියලා ගත්තොත් ත්‍රිකෝණයක කෝණ තුනේ
එකතුව අංශක 180ට අඩු වෙනවා. ත්‍රිකෝණයක කෝණ තුනේ
එකතුව අංශක 180 ද එයට අඩු ද වැඩි ද කියලා තීරණය වන්නෙ
ස්වසිද්ධි මත. ස්වසිද්ධි අපේ නිර්මාණ. ඒවා ඔප්පු කරන්න බැහැ.
ගණිතයත් අපේ නිර්මාණයක්. නැවතත් අපේ කිවුවට අපේ ම නො වෙයි. අපේ ම නොවන අපේ ගණිතයක්.
එය ඊනියා වාස්තවික දැනුම් පද්ධතියක් නම් නො වෙයි.