පොසොන් සිතිවිල්ලක්
අද පොසොන් පොහෝ දා. මිහිඳු මහ රහතන් වහන්සේ ලංකාවට වැඩම කර අවුරුදු දෙදහස් තුන්සීයයක්. අප එයට පෙරත් බෞද්ධයන් ව සිටි බවට සාක්‍ෂි තියෙනවා. මට හැඟෙන අයුරින් අවුරුදු දහස් ගණනකට පෙර හෙළ දිවයිනත් මිසරයත් (ඊජිප්තුවත්) මායාවරුන්ගේ වත්මන් බසින් නම් මෙක්සිකෝවත් අතර සම්බන්ධකම් තිබී තියෙනවා. අපේ සංස්කෘතීන් ජනප්‍රවාද අතර සමානකම් තියෙනවා. ලෝකයේ පිරමිඩ් දකින්න පුළුවන් මේ රටවල. අපේ රටේ දාගැබ් ද යම් ආකාරයක පිරමිඩ්. පිරමිඩයක් කියන්නේ පාදයෙහි යම් සංවෘත ජ්‍යාමිතික රූපයක් ඉන් ඔබ්බෙහි ශීර්ෂයක පිහිටි ලක්‍ෂ්‍යයක් සමග සම්බන්ධ කරන රේඛාවලින් සෑදුණු ජ්‍යාමිතික රූපයක්. අපේ දාගැබ්වල පාදය වෘත්තයක් වන අතර එය ශීර්ෂයට යා කරන්නේ සරල රේඛාවලින් නොව වක්‍ර රේඛාවලින්.
මේ රටවලින් තවමත් ඉපැරණි සංස්කෘතිය පවත්වාගෙන යන්නේ අප රටෙහි පමණයි. මිසරයේ අද ඇත්තේ මුස්ලිම් සංස්කෘතියක්. මායාවරුන් අදත් දැකිය හැකි නමුත් මෙක්සිකෝවේත් ඒ ආසන්නයේත් අද ඇත්තේ ස්පාඤ්ඤ සංස්කෘතියක්. අපට අපේ සංස්කෘතිය රැක ගැනීමට හැකි වූයේ මහාවිහාරය ඒ ආරක්‍ෂා කිරීමට යම් පියවර ගත් නිසයි. එහෙත් හතරවැනි සියවසේ පමණ සිට අපේ සංස්කෘතිය වර්ධනය වන බවක් පේන්නේ නැහැ. අප නොසිතන ජාතියක් බවට පත් වී තියෙනවා
මිහිඳු හිමියන් අප රටට වැඩම කරන විට මෙරට සිටියේ මෝඩයන් නො වෙයි. ඒ වන විටත් හෙළයන් යම් පිරිසක් බෞද්ධයන් වී සිටියා. මිහිඳු හිමියන් දේවානම්පිය තිස්ස රජුගෙන් ඇසූ ප්‍රශ්නවලට එතුමා නිවැරදි පිළිතුරු දුන්නා. ඒ ප්‍රශ්න අද ඉන්න කසිකබල් දේශපාලනඥයකුගෙන් ඇසුවොත් ඔහු පිළිතුරු දෙනු ඇත්තේ ස්වාමීනී මේ ලෝවැසි සියල්ලෝ ම මගේ නෑදෑයෝ මා ඉපදී සිටින්නේ මගේ නෑයන්ට සේවය කිරීමට කියා. මෙහි පළමු කොටස එනම් ලෝ වැසි සියල්ලන් ම තම නෑදෑයන් වන බව මුසාවක් වුවත් දෙවැනි කොටස එනම් නෑදෑයන්ට සේවය කිරීම නම් ඇත්ත.
මිහිඳු හිමියන් ප්‍රශ්න මාලා දෙකක් ඇහුවා. ඒ දෙක එකක් නො වෙයි. දේවානම්පිය තිස්ස රජුට ඒ බව තේරෙන්න ඇති. ඒත් අද ඉන්න කී දෙනකුට ඒ බව තේරෙනවා ද? එමෙන් ම ඒ නෑදෑයන් පිළිබඳ ඈසූ ප්‍රශ්නයෙන් බටහිර ගණිතයේ කුලකවාදය දෙදරා යනවා. කුලකවාදය පදනම් වන්නේ ඇරිස්ටෝටල්ගේ ද්විකෝටික න්‍යාය මත. එහි යම් අවයවයක් එක්කෝ කුලකයක සාමාජිකයකු විය යුතුයි. නැත්නම් නොවිය යුතුයි. උපකුලක සම්බන්ධයෙන් ද එසේමයි.
ඔබ ඔබේ නෑදෑයෙක් ද යන ප්‍රශ්නය ඇසුවොත් දෙන පිළිතුර කුමක් ද? ඔබ ඔබේ නෑදෑයන්ගේ උපකුලකයකට අයත් ද? නැත්නම් නොනෑයන්ගේ උපකුලකයට අයත් ද? සියළු මිනිසුන්ගේ කුලකය සෑදෙන්නේ ඔබේ නෑයන්ගේ උපකුලකයෙන් හා නොනෑයන්ගෙ උපකුලකයෙන් ද? නොනෑයන්ගේ උපකුලකය නෑයන්ගේ උපකුලකයේ අනුපූූරකය (complement) ද? දේවානම්පිය තිස්ස රජු කීවේ තමා තමාගේ නෑයකුවත් නොනෑයකුවත් නොවන බවයි.
මේ ප්‍රශ්න ගැන ලිපියක් මා කාලය සඟරාවේ 1988 පොසොන් කලාපයේ පළ කළා. එය හා් එහි යම් යම් වර්ධනයන් පසුව දිවයින පුවත්පතෙත් විදුසර පුවත්පතෙත් පළ වුණා. එහෙත් එයට ලැබුණේ එක් ප්‍රතිචාරයක් පමණයි. ඔහු අසා සිටියේ දේවානම්පිය තිස්ස රජු මුහුදේ දාන්න ද කියා. සියළු මිනිසුන්ගේ කුලකය රජුගේ නෑයන්ගේ හා එහි නිෂේධය වූ නොනෑයන්ගේ උපකුලකවලින් සෑදෙන්නේ නම් තම නෑයකුත් නොවූ නොනෑයකුත් නොවූ රජු මිනිසකු නොවේ නම් මුහුදේ දැමිය යුතු ද කියා ඔහු මට සරදම් කිරීමට අසා තිබුණා. එකලත් විවිධ පඬියන් මෙරට හිටියා.
කුලකවාදය අනුව උපකුලකයක අනුපූූරකය නිර්වචනය කරන්නේ කෙසේ ද? අවයවයක් කුලකයට හෝ උපකුලකයට එක්කෝ අයත් විය යුතුයි. නැත්නම් නොවිය යුතුයි. රජු එක්කෝ තම නෑයකු විය යුතුයි නැත්නම් නොවිය යුතුයි. එහෙත් රජු තම නෑයකුත් නො වෙයි නොනෑයකුත් නො වෙයි. මිහිඳු හිමියන් හා දේවානම්පිය තිස්ස රජු කුලකවාදය ඇති වීමට අවුරුදු දහසකටත් පෙර එය බිඳ දමා තිබුණා.
1988 ලියූ ලිපියට අවුරුදු තිස් එකක් වෙනවා. එදා මෙදා තුර මා දිවයිනෙනුත් විදුසරෙනුත් තල්ලු වී තියෙනවා. වෙනත් පුවත්පතක් මේ ලිපිවලට තැනක් දෙන්නේ නැහැ. මා ඒ ලිපිය නැවත පළ කරනවා. ඒ එහි ඡායා පිටපතක් ලෙස.
එමෙන් ම එයට අදාළ ව 2018 පෙබරවාරි 10වැනි දා කාලය වෙබ් අඩවියේ පළ කළ ලිපියක් නැවතත් පහත පළ කරනවා. මේ ලිපි මෙරට උගතුන්ගේ අවධානයට යොමු නොවන බව මා දන්නවා. අදත් ධර්ම දේශනාවල මිහිඳු හිමියන්ගේ ප්‍රශ්න ගැන සඳහන් කරාවි.මා මේ දුනුත් අහගෙන හිටියා අභයතිස්ස හාමුදුරුවන් අනුරාධපුරයේ සිට ඒ ප්‍රශ්න ගැන කතා කර රජුගේ ප්‍රඥාව ගැන පමණක් කියා වෙනත් කිසි කතාවක් නැතිව ඉවතට යන ආකාරය. උන්වහන්සේ රාජකීය පණ්ඩිත මහාචාර්යවරයකු. උන්වහන්සේට මගේ ලිපිවලින් වැඩක් නැතිව ඇති. අප හතරවැනි සියවසෙන් පමණ හිතන්නේ නැහැ කල්පනා කරන්නේ නැහැ.
මේ ප්‍රශ්න අපට තේරුම් ගත හැක්කේ චතුස්කෝටිකය ඇසුරෙන්. අප ශූන්‍ය (බිංදුව) දැන ගත්තෙත් චතුස්කෝටිකය ඈසුරෙන්. අපට අපේ ඉලක්කම්වල ශූන්‍ය දැක්වීමට සංකේතයක් තිබුණා. ඒ හල් කිරීම ( ්). අද නම් අපට බින්දුව.
සරල රේඛා හා දේවානම්පිය තිස්ස රජු
කුලකවාදය පිළිබඳ ප්‍රශ්න මතුවන්නේ ඇරිස්ටෝටලීය න්‍යාය නිසා. එහි කියැවෙන එක් කරුණක් අනුව යම් ප්‍රස්තුතයක් සත්‍යය නම් එහි නිෂේධය අසත්‍යය විය යුතුයි. එමෙන් ම යම් ප්‍රස්තුතයක් අසත්‍ය නම් එහි නිෂේධයෙ සත්‍යය විය යුතුයි. උදාහරණයක් ලෙස (උදාහරණ දීමට සිදුවන්නේ බොහෝ දෙනාට වියුක්ත ප්‍රකාශ තේරුම් ගැනීමට අපහසු නිසා) යම් සත්වයකු මිනිසකු නම් ඒ සත්වයා මිනිසකු නොවන්නකු විය නොහැකියි. යමකු මිනිසකු යන්න සත්‍යය නම් ඒ තැනැත්තා මිනිසකු නොවේය යන්න අසත්‍යය වෙනවා.
මෙහි දී නිෂේධය නැත්නම් නොවන්න යන්න එතරම් පැහැදිලි නැහැ. පුටු යන්නෙහි නොවන්න හෙවත් නොම පුටු යන්නට මේස ඇඳ ආදිය පමණක් නොව පණ ඇති සතුන් ද අයත් වෙනවා. ඒ අර්ථයෙන් ගත් විට උපකුලකයක නිෂේධ උපකුලකයට හෙවත් අනුපූරක කුලකයට අදාළ කුලකයට අයත් නොවන සියලු අවයව අයත් වෙනවා. එවිට අදාළ පංචෙන්ද්‍රිය ගෝචර සර්වත්‍ර කුලකය දෙන ලද අවයවවල කුලකයෙන් හා එහි අනුපූරක කුලකයෙන් සමන්විත වෙනවා. ගනිතයෙහි පංචෙන්ද්‍රිය ගෝචර යන්න වැදගත් නැහැ.
අපි යම් රේඛාවකට සමාන්තර රේඛා කුලකය ගනිමු. එවිට යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියෙහි සියලු සරල රේඛා කුලකයේ (අදළ සර්වත්‍ර කුලකයෙහි) සමාන්තර රේඛා උපකුලකයෙහි අනුපූරක උපකුලකය වන්නේ දෙන ලද රේඛාවට සමාන්තර නොවන රේඛා කුලකයයි. ඒ අනුපූරක කුලකයට දෙන ලද රේඛාව සමග ඡෙදනය වන රේකා මෙන් ම විතල රේඛා ද අයත් වෙනවා. දැන් දෙන ලද රේඛාවට සමාන්තර රේඛාවල කුලකය සහ දෙන ලද රේඛාවට සමාන්තර නොවන රේඛා කුලකය ද තිබෙනවා. එකක් අනෙකෙහි අනුපූරකය.
ප්‍රශ්නය වන්නේ දෙන ලද රේඛාව අයත් වන්නේ මේ කුලක දෙකෙන් කිනම් කුලකයට ද යන්නයි. දෙන ලද රේඛාව ඒ රේඛාවට සමාන්තර ද නැත් ද? යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියෙහි රේඛාවකට සමාන්තර රේඛාවක් ඒ රේඛාව සමග එක් තලයක ඇති අතර ඒ රේඛාව හමුවන්නේ නැහැ. විතල රේඛාවක් ද ඒ දෙන ලද රේඛාව හමු නොවන නමුත් එක ම තලයක නැහැ. දෙන ලද රේඛාව ඒ රේඛාව හමු වෙනවා ද? යම් රේඛාවක් හමුවිය හැක්කේ හෝ නොවිය හැක්කේ හෝ වෙනත් රේඛාවකට මිස ඒ රේඛාවට ම නො වෙයි.
අපට අවශ්‍ය නම් රේඛාව ඒ රේඛාව මෙන් ම වෙනත් රේඛාවක් ලෙස ද සැලකිය හැකියි. එහෙත් පංචෙන්ද්‍රිය ගෝචර ලෝකයෙහි එසේ කළ නො හැකියි. ගණිත ලෝකය සහ පංචෙන්ද්‍රිය ගෝචර ලෝකය දෙකක්. ගණිතයෙහි ඇත්ත යන සංකල්පය නිර්වචනය කරන්න බැහැ. එහි ඇතැම් අවස්ථාවල ගණිතමය සත්‍යය යනුවෙන් සංකල්පයක් නිර්මාණය කළ හැකියි. විවෘත විශ්වවිද්‍යාලයෙහි කථිකාචාර්ය නන්දසේන ගමගේ එවැන්නක් කර තිබෙනවා. එහෙත් එය සාධාරණ සංකල්පයක් නො වෙයි. ගණිතයෙහි සාධාරණ වශයෙන් ඇත්ත සත්‍යය යන සංකල්ප නිර්මාණය කරන්න බැහැ. ඇත්ත සත්‍යය අයත්වන්නේ ඉන්ද්‍රිය (ෂඩේන්ද්‍රිය) ගෝචර ලෝකයට. අප බොහෝ දෙනකුට නම් පංචෙන්ද්‍රිය ගෝචර ලෝකයට. ගණිතය වියුක්තයි.
ගණිත ලෝකය සාධාරණ වශයෙන් ෂඩේන්ද්‍රිය ගෝචරවත් නැහැ. ගණිත ලෝකයෙහි අපට අවශ්‍ය ආකාරයට ඇරිස්ටෝටලීය න්‍යායෙහි සංගත ව නිර්වචන නිර්මාණ කළ හැකියි. ගණිතයෙහි දෙන ලද රේඛාවක් ඒ රේඛාවට ම සමාන්තර ය කියා නිර්වචනය කරන්න, අර්ථදක්වන්න පුළුවන්. දෙන ලද රේඛාවක් ඒ රේඛාවට ම සමාන්තර ද නැත් ද යන ප්‍රශ්නය ගණිතයෙහි විසඳන්නෙ එලෙසයි.
අප පළමුවෙන් සඳහන් කළා දෙන ලද රේඛාවකට සමාන්තර රේඛාවක් ඒ දෙන ලද රේඛාව හමුවන්නේ නැහැ කියා. මෙහි දී හමුවනවා යන්න පංචෙන්ද්‍රිය ගෝචර ව හිතන්න එපා. සරල රේඛා දෙකක් හමුවනවා කියන්නේ ඒ රේඛා දෙකට පොදු ල’ක්‍ෂ්‍ය එකක් හා එකක් පමණක් වේ ය යන අර්ථයෙන්. ඡෙදක සරල රේඛා දෙකකට පොදු ලක්‍ෂ්‍යයක් වනවා. විතල රේඛාවකට හා දෙන ලද රේඛාවට පොදු ලක්‍ෂ්‍යයක් නැති වුවත් ඒ රේඛා දෙක එකම තලයක නොවන නිසා සමාන්තර වන්නේ නැහැ.
දැන් දෙන ලද සරල රේඛාව රේඛා දෙකක් ලෙස සැලකුවහොත් ඒ රේඛා දෙකට පොදු ලක්‍ෂ්‍ය අපරිමිත සංඛ්‍යාවක් තිබෙනවා. එසේ සරල රේඛා දෙකක් ලෙස සැලකුවත් ඒ දෙකට ඇත්තේ පොදු ලක්‍ෂ්‍ය එකක් පමණක් නො වෙයි. එසේ නම් සමාන්තර රේඛා යන සංකල්පය ඒ දෙන ලද රේඛාව රේඛා දෙකක් ලෙස සැලකුවත් යෙදා ගන්න බැහැ. ගණිතයෙහි දී මෙහි දී සිදුකරන්නේ යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියෙහි සමාන්තර රේඛා යන සංකල්පය පුළුල් කිරීමක්. ඒ පුළුල් කිරීමෙහි දී සරල රේඛාවක් ඒ සරල රේඛාවට ම සමාන්තර ලෙස අර්ථ දැක්වෙනවා, නිර්වචනය කෙරෙනවා.
ගණිතයෙහි දී මෙය වරදක් වන්නේ නැහැ. මෙය කිරීමට සිදුවන්නේ යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියෙහි සියලු සරල රේඛාවල සර්වත්‍ර කුලකය දෙන ලද සරල රේඛාවකට සමාන්තර රේඛාවල කුලකය හා සමාන්තර නොවන සරල රේඛාවලින් සමන්විත බව උපකල්පනය කෙරෙන නිසා. අදාළ ක්‍ෂෙත්‍රයෙහි සරල රේඛා සර්වත්‍ර කුලකය දෙන ලද රෙඛාවකට සමාන්තර රේඛාවල උපකුලකයෙහි හා ඒ උපකුලකෙයෙහි අනුපූරකයෙහි මේලයෙන් (එකතුවෙන්) සමන්විත බව උපකල්පනය කෙරෙනවා. ඒ ඇරිස්ටෝටලීය න්‍යාය අනුව. එබැවින් දෙන ලද සරල රේඛාව එක්කෝ ඒ රේඛාවට ම සමාන්තර විය යුතුයි. නැත්නම් සමාන්තර නොවිය යුතුයි. ගණිතයෙහි යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියෙහි සරල රේඛාවක් ඒ සරල රේඛාවට ම සමාන්තර ලෙස නිර්වචනය කරනවා. යමකුට අවශ්‍ය නම් සරල රේඛාවක් ඒ රේඛාවට ම සමාන්තර නොවන්නේ යැයි ගෙන වෙනත් ජ්‍යාමිතියක් ගොඩ නැගිය හැකි දැයි සොයා බලන්න පුළුවන්.
සරල රේඛාවක් ඒ රේඛාවට ම සමාන්තර වීම හෝ නොවීම හෝ යන දෙකෙන් එකක් සපුරාලිය යුතු ම ද? මේ ඇරිස්ටෝටලීය න්‍යායෙන් කෙරෙන බලපෑමක්. සරල රේඛාවක් ඒ රේඛාවට ම සමාන්තර වී හෝ නොවී හෝ පැවතිය හැකි ද (පංචෙන්ද්‍රිය ගෝචර අර්ථයකින් නොව)? එසේ නැත්නම් සමාන්තර වීම හා නොවීම යන දෙකම සපුරාලිය හැකි ද? පංචෙන්ද්‍රිය ගෝචර දෙවානම්පිය තිස්ස රජු එ රජුගේ නෑයෙක් ද? නොනෑයෙක් ද? මිහිඳු මහ රහතන් වහන්සේට රජු දුන් පිළිතුර කුමක් ද? ඒ ප්‍රශ්නය අඹ ගසේ ප්‍රශ්නයෙන් වෙනස් වන්නේ ඇයි? කුලකවාදය ගණිතයට ඔබ්බෙන් යොදා ගත (ඇප්ලයි apply) හැකි ද? කුලකවාදයෙන් මිනිසුන්ගේ කුලකයට හැඟෙන (ඉම්ප්ලයි imply) යමක් තිබේ ද? උනන්දුවක් දක්වන අයකුට නන්දසේන ගමගේ හමුවිය හැකියි.