වියුක්තය ගැන දැන සිටි ග්‍රීකයන් උද්ගමනය නොදැන සිටියා නො වෙයි. උද්ගමනය යනු අත්දැකීම් කිහිපයක් මත පමණක් පදනම් වෙමින් යම් ප්‍රපංචයක් සාධාරණීකරණය කිරීම ය. ඇරිස්ටෝටලීය න්‍යාය අපට මෙහි දී නැවතත් සිහිපත් වෙයි. කලින් සඳහන්කළ කරුණුවලට අමතරව සංවාක්‍ය (syllogism) සලකා බලමු. ඉතා සුප්‍රසිද්ධ සංවාක්‍යයට අනුව සියළු මිනිස්සූ මැරෙති, සොක්‍රටීස් මිනිසෙකි, එබැවින් සොක්‍රටීස් ද මියයයි. මේ සංවාක්‍යය ගැන කිවයුතු කරු ණු කිහිපයක් වෙයි. එහි කියැවෙන සියළු මිනිසුන් මැරෙන බව දැනගැනීමට නම් සොක්‍රටීස් ද මැරෙන බව දැනගත යුතු ය. එබැවින් සොක්‍රටීස් ද මැරෙන්නේ ය යන නිගමනය සියළු මිනිස්සු මැරෙති යන්නෙහි ම වෙයි. එසේ නම් මෙහි නිගමනය කිරීමට දෙයක් නො තිබුණි.
එය එසේ නමුත් මේ සංවාක්‍යය අපට තවත් පැත්තකින් ද බැලිය හැකි ය. දැන් ඒ වැදගත් වන්නේ එහි නිගමනයකට වඩා උද්ගමනයක් ඇති බැවින් ය. සියළු මිනිසුන් මැරෙන බව අප දැනගන්නේ නිරීක්‍ෂණයෙන් නොව උද්ගමනයෙන් ය. අප දන්නා මිනිසුන් රාශියක් ද ලොවෙහි අපට කලින් වාසයකළ සියළු දෙනා ද මියගොස් ඇති බැවින් මිය යෑම පොදු ධර්මතාවක් ලෙස ගැනෙයි. මිනිසුන් රාශියක් ගැන දැනගැනීමෙන් වුව ද සියළු මිනිස්සු මැරෙති යන තීරණයට අප එළඹෙන්නේ උද්ගමනයෙන් ය. එලෙස තීරණයකට පැමිණීමෙන් පසුව සොක්‍රටීස් ද මිනිසකු බැවින් ඔහු ද මියයන්නේ ය යන නිගමනයට එළඹිය හැකි ය. මෙයින් පෙනී යන්නේ සියළු මිනිසුන් ආදී වශයෙන් පරිමිත නොවන අවයව සංඛ්‍යාවක් සහිත කුලක පිළිබඳ වූ සංවාක්‍යයෙහි නිගමනය මෙන් ම උද්ගමනය ද අන්තර්ගත බව ය. අදාළ කුලකයෙහි අවයව සංඛ්‍යාව පරිමිත නම් ඇතැම්විට එවැනි උද්ගමනයක් අවශ්‍ය නොවනු ඇත. එයට හේතුව යම් ගුණයක් පරිමිත කුලකයක අවයව සම්බන්ධයෙන් ගත්කල ඒ සෑම අවයවයක් සඳහාම වලංගුවන්නේ දැයි ඇතැම් විට දැනගැනීමට ඇති හැකියාව ය. (ඇතැම් පරිමිත කුලකයක එවැනි හැකියාවක් නොමැති විය හැකි ය. වර්තමානයෙහි ජීවත්වන කපුටන් සංඛ්‍යාව පරිමිත වුව ද, ඒ කපුටන් සියල්ල නීරීක්‍ෂණය කර ඔවුන් කළු දැයි සොයා බැලීමේ හැකියාව අපට නො මැත) එහෙත් එවැනි අවස්ථාවක දී නිගමනයෙහි වැදගත්කමක් නැතිවෙයි. එයට හේතුව ඒ නිගමනය ලබාගන්නා වූ අවයවය සඳහා ද අදාළ ගුණය වලංගු බව නිරීක්‍ෂණයෙන් ම දැනගෙන සිටීම ය. උදාහරණයක් වශයෙන් පංතියක ඇති පුටුවල කකුල් කැඩී ඇතැයි සිතමු. දැන් මේ එක් එක් පුටුව ගෙන එක් එක් පුටුවෙහි කකුල් කැඩී ඇත්දැයි අපට දැනගත හැකි ය. ඒ අනුව පංතියේ සියළු පුටුවල කකුල් කැඩී ඇති බව අපි දැනගන්නෙමු. එහෙත් ඒ දැනුම අප වෙත ඇති නිසා ම අහවල් පුටුවෙහි කකුල් කැඩී ඇතැයි තීරණය කිරීම නිගමනයක් නො වෙයි. එය නිරීක්‍ෂණයක් ඔස්සේ කලින් ම දත් දෙයක් වෙයි.
මෙහි දී අප සාකච්ඡා කෙළේ සරල නිරීක්‍ෂණ හා සම්බන්ධ උද්ගමන ය. එයට වඩා සංකිර්ණ නිරීක්‍ෂණ හා සම්බන්ධ උද්ගමන ද වෙයි. උදාහරණයක් වශයෙන් බොයිල් නියමය (Boyle’s Law) ගනිමු. දෙන ලද වායුවක නිශ්චිත උෂ්ණත්වයක දී පරිමාව පීඩනයට ප්‍රතිලෝම වශයෙන් සමානුපාතික බව මේ නියමයෙන් කියැවෙයි. මෙය කපුටන් කළුපාටය යන නිරීක්‍ෂණයට වඩා තරමක් සංකිර්ණ වෙයි. හඳුනා ගැනීමේ අවශ්‍යතාව නිසා කපුටන් කළුපාටය යන ආකාරයේ නිරීක්‍ෂණ පළමු ගණයේ නිරීක්‍ෂණ ලෙසත් බොයිල් නියමයෙන් ප්‍රකාශවන ආකාරයේ නිරීක්‍ෂණ දෙවැනි ගණයේ නිරීක්‍ෂණ ලෙසත් වර්ගකරමු. දෙවැනි ගණයේ නිරීක්‍ෂණවල දී යම් විචල්‍ය අතර සම්බන්ධයක් ද ප්‍රකාශවෙයි. එවැනි නිරීක්‍ෂණ ඇතැම් විට නියම (law) ලෙස ද හැඳින්වෙයි. එහෙත් ඒ ප්‍රවාද ද යන්න ගැටළුවක් වෙයි. මෙය නිර්වචනය පිළිබඳ ප්‍රශ්නයක් යැයි යමකුට කිවහැකි වුව ද ප්‍රවාදයක් යනු නිරීක්‍ෂණවලට මග පාදන්නක් ලෙස හැඳින්වීම වඩා යෝග්‍ය යැයි සිතමි. බොයිල් නියමය ප්‍රවාදයක් නම් සියළු මිනිස්සු මැරෙති, සියළු කපුටෝ කළුපාට වෙති ආදිය ද ප්‍රවාද ලෙස හඳුනාගැනීමේ වරදක් නැත. මෙහි දී සඳහන්කළ යුත්තක් නම් නියම හා ප්‍රවාද ආදී පද යුදෙව් ක්‍රිස්තියානි සංස්කෘතියෙන් ලැබී ඇති බව ය. නියම යන්න පරණ තෙස්තමේන්තුවෙන් ලබාගෙන ඇති අතර ප්‍රවාද යන්නෙහි ඉංගිරිසි වචනය වූ තියරි යන්න දේවධර්මවාදය (Theology) සමග බැඳී ඇත. තියරි, තියරම් (Theorem - ප්‍රමේයය) ආදී වචනවල ප්‍රභවය දේවධර්මයෙහි වෙයි. දෙවියන් විසින් මවන ලද ලෝකයෙහි (විශ්වයෙහි) නියම හා දැනුම යන්න මේ වචනවලින් ගම්‍ය වෙයි. අද ද බටහිර විද්‍යාඥයන් බොහෝ දෙනකු සිතන්නේ ඔවුන් දෙවියන් වහන්සේ ලෝකය මවා ඇති ආකාරය තේරුම්ගැනීමට උත්සාහ කරන බව ය.
කෙසේ වෙතත් බොයිල් නියමය ද උද්ගමනයෙන් ලබාගන්නක් වෙයි. වායු නියැදි කිහිපයක් පමණක් නිරීක්‍ෂණයට භාජනය කර සියළු වායු සම්බන්ධයෙන් දෙන ලද අවස්ථාවල දී ඒ ප්‍රතිඵලය වලංගු වන්නේ යැයි කියනු ලැබෙයි. ඒ සාධාරණීකරණයක් වෙයි. සංයුක්ත නිරීක්‍ෂණ ආධාරයෙන් කරන සාධාරණීකරණයක් යනු උද්ගමනයක් වෙයි. මෙවැනි සාධාරණීකරණවලට පමණක් නොව නිරීක්‍ෂණවලට මග පාදන ප්‍රවාද ද අවසාන වශයෙන් ගත්කල ලැබෙන්නේ උද්ගමනයෙන් ය. අපි මෙහි දී උදාහරණ දෙකක් ගනිමු. ඒ උදාහරණ දෙක ම ගුරුත්වාකර්ෂණයට සම්බන්ධ ය.
පළමුවෙන් ම නිදැල්ලේ වැටෙන වස්තු පිළිබඳ ඇති ගැලීලීය නිරීක්‍ෂණය ගනිමු. එහි දී නිරීක්‍ෂණය වූයේ පොළොවට ආසන්නයේ වැටෙන ඇතැම් වස්තු එකම ත්වරණයෙන් පොළොව දිශාවට චලනය වන බව ය. ඒ නිරීක්‍ෂණය කිරීමෙන් පසු එය පොළොව ආසන්නයේ වැටෙන සියළු වස්තු සඳහා සාධාරණය කෙරිණි. ඒ සාධාරණය කිරීම යනු උද්ගමනය මිස අන්කිසිවක් නො වෙයි. දෙවැනි උදාහරණය නිව්ටෝනීය ගුරුත්වාකර්’ෂණ ප්‍රවාදය ය. මේ ප්‍රවාදයෙන් නිදැල්ලේ චලනයවන වස්තු පොළොව ආසන්නයේ දී පොළොවට වැටෙන්නේ ඇයි දැයි තේරුම් කෙරෙයි. ප්‍රවාදයක් නිරීක්‍ෂණයකට හා නියමයකට වඩා දුරදිග යන්නේ එහි යම් තේරුම් කිරීමක් ද ඇති බැවින් ය. ප්‍රවාදයකින් තේරුම් කෙරෙන්නේ නිරීක්‍ෂණ ය. නිරීක්‍ෂණ කිහිපයක් මගින් එවැනි නිරීක්‍ෂණ අදාළවන යම් පරිමිත හෝ අපරිමිත හෝ කුලකයක් සඳහා නිරීක්‍ෂණය සාධාරණය කෙරී ඇති බැවින් ප්‍රවාදයක් පටන් ගැනෙන්නේ ම උද්ගමනයකින් ය. ඒ අදාළ කුලකයෙහි සියළු නිරීක්‍ෂණ ප්‍රවාදයෙන් තේරුම් කර දිය යුතු වෙයි. ගුරුත්වාකර්ෂණ ප්‍රවාදය ගැලීලීය නිරීක්‍ෂණ තේරුම් කිරීමෙන් නො නවතියි. එහි තවත් උද්ගමනයක් වෙයි. නිව්ටෝනීය ගුරුත්වාකර්ෂණය ඉදිරිපත් කෙරෙන්නේ පොළොවට ආසන්නව චලිතයෙහි යෙදෙන වස්තු සඳහා පමණක් නො වෙයි. ඒ නියමය විශ්වයෙහි පවතින ඕනෑම වස්තු දෙකක් සඳහා වලංගුවන ආකාරයෙන් ඉදිරිපත්කෙරී ඇත. පොළොවේ ඇති වස්තුවලට බලපාන ප්‍රවාදයක් අහසේ ඇති වස්තුවලට ද බලපාන ලෙස උද්ගමනයක් කෙරී ඇත. එහි දී ප්‍රවාදය ද උද්ගමනය කෙරී ඇත.
පෝල් ෆෙයරාබන්ඩ් විද්වතා තම විධික්‍රමයට එරෙහිව (Against Method) නම් කෘතියෙහි සඳහන් කරන ආකාරයට මෙවැනි සාධාරණීකරණයක් ගැලීලියෝ විද්වතා විසින් ද කෙරී ඇත. ගැලීලියෝ විද්වතා තම දුරේක්‍ෂය පෘථිවිය මත ඇති වස්තුවලට පමණක් නොව ග්‍රහවස්තුවලට ද එල්ල කළ අවස්ථාවෙහි ඔහු අහස පොළොව එක්කෙළේ ය. ඉන් අදහස් වන්නේ පොළොවෙහි බලපාන ඇතැම් නීතිරීති (දුරේක්‍ෂ පිළිබඳ) අහසෙහි ද වලංගු බවට ගැලීලියෝ විද්වතා විසින් උද්ගමනයක් කෙරී ඇති බව ය. මේ උද්ගමනය පසුව නිව්ටන් විද්වතාට ද බලපාන්නට ඇතැයි සිතිය හැක්කේ ඔහු තම ගුරුත්වාකර්ෂණ ප්‍රවාදය සාධාරණය කර ඇති අයුරු විමසීමෙන් ය. සාධාරණය කිරීමෙහි දී වියුක්තය වඩා වැදගත්වන අයුරු ගුරුත්වාකර්ෂණ ප්‍රවාදයෙන් පෙනී යයි. එහි දී සලකා බැලෙන්නේ ඕනෑම වස්තු දෙකක් මිස සංයුක්ත වස්තු දෙකක් නො වෙයි. ගුරුත්වාකර්ෂණ ප්‍රවාදය යනු සංයුක්ත වස්තු සඳහා කෙරෙන නිරීක්‍ෂණ සාධාරණය කෙරී ඉන්පසු ඒ නිරීක්‍ෂණ තේරුම් කිරීමට ඕනෑම වියුක්ත වස්තු දෙකක් සඳහා යොදාගන්නා ප්‍රවාදයක් වෙයි.
බටහිර විද්‍යාව අනෙක් දැනුම් පද්ධතීන්ගෙන් වෙන්වීමේ දී එහි ප්‍රධාන වශයෙන් ම කැපී පෙනෙන ලක්‍ෂණයක් වන්නේ නිරීක්‍ෂණ සම්බන්ධයෙන් එහි දී කෙරෙන සාධාරණීකරණය ය. එනම් උද්ගමනය ය. බටහිරයෝ දැනට අවුරුදු පන්සියයක පමණ කාලයෙහි සාධාරණ වශයෙන් ම (in general) සාධාරණීකරණයට ලක්කරති. මේ වෙනස විසින් ඔවුහු පැරණි භාරතීයයන්ගෙන් පමණක් නොව පැරණි ග්‍රීකයන්ගෙන් ද වෙන් කරනු ලැබෙති. භාරතීයයන්ට හෝ වෙනත් අයට හෝ යම් යම් අවස්ථාවල සාධාරණීකරණය තිබුණ ද සාධාරණ වශයෙන් සාධාරණීකරණයක් නො තිබුණි. භාරතීයයන් ආයුර්වේදයේ ඇතැම් අවස්ථාවල ද, කර්මවාදය වැනි ප්‍රවාදවලදී ද යම් සාධාරණීකරණයක යෙදී ඇති බව පෙනෙයි. එහෙත් ඔවුහු සෑම තැනක දී ම සාධාරණීකරණයකට නො ගියහ. ග්‍රීකයෝ ජ්‍යාමිතියෙහි දී සාධාරණීකරණයක යෙදුණහ. ඔවුන් සාධන ඉදිරිපත් කෙළේ ඕනෑම සරල රේඛාවක් නැත්නම් ඕනෑම වෘත්තයක් සඳහා ය. පෛතගරස් ප්‍රමේයයේ ප්‍රතිඵලය මිසරයන් ද භාරතීයයන් ද දැනසිටි නමුත් ඔවුන් ඒ දැනසිටියේ ඒ ඒ සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණ සඳහා ය. එහෙත් පෛතගරස් විද්වතා ඒ ප්‍රතිඵලය සියළු සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණ නිරූපණය කෙරෙන ඕනෑම සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක් සඳහා සාධනය කෙළේ ය.
බටහිර ගණිතයෙහි සියළු ත්‍රිකෝණ සඳහා, සියළු සරල රේඛා සඳහා, ආදී වශයෙන් සාධනයකිරීමේ දී යොදාගන්නා ක්‍රමයක් වෙයි. ඒ ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක් ආදී වශයෙන් ගෙන යම් ප්‍රතිඵලයක් සාධනයකිරීම ය. ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක් යනු වියුක්ත සංකල්පයක් වෙයි. ත්‍රිකෝණයක්, සරල රේඛාවක් ආදිය ද වියුක්ත සංකල්ප වෙයි. දිගක් මිස පළලක් ඝනකමක් නැති සරල රේඛා මනසින්වත් මවාගත හැකි දෑ නො වෙයි. සරල රේඛාවක හෝ ත්‍රිකෝණයක හෝ ඇති වියුක්තභාවය නිසා ම එය තවත් වියුක්තකර ඕනෑම සරල රේඛාවක්, ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක් ආදී සංකල්ප ද නිර්මාණය කර ගත හැකි ය. ඕනෑම සරල රේඛාවක් යනු සරල රේඛා සියල්ල වියුක්ත කිරීමෙන් ලබා ගන්නා සාධාරණ සරල රේඛාවකි.
මෙය තවදුරටත් පැහැදිලි කර ගැනීම සඳහා ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක් යන සංකල්පය ගනිමු. ත්‍රිකෝණයක් යන්න වියුක්ත සංකල්පයකි. එය නිර්මාණය වී ඇත්තේ වියුක්ත සරල රේඛා තුනකින් ය. එසේ වුවත් විවිධ ත්‍රිකෝණ ඇති බව අපි දනිමු. සුළුකෝණී ත්‍රිකෝණ, සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණ, මහාකෝණී ත්‍රිකෝණ ආදී වශයෙන් අපට ත්‍රිකෝණ වර්ග කර ගත හැකි ය. එලෙස ම සමපාද ත්‍රිකෝණ, සමද්විපාද ත්‍රිකෝණ ආදී වශයෙන් ද ත්‍රිකෝණ වෙයි. ඒ එක් එක් වර්ගයේ ත්‍රිකෝණ ය. ඉන් එක් වර්ගයක ත්‍රිකෝණ ගතහොත් ඒවා වියුක්ත වන අතර ඉන් ඕනෑම අවයවයක් (ත්‍රිකෝණයක්) ගෙන එය එවැනි අනෙක් සියල්ලෙහි නියෝජනයක් ලෙස සැලකිය හැකි ය. ඕනෑම සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක් යන්න සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණ වියුක්තකර නිර්මාණය කරගන්නා වියුක්ත සංකල්පයකි. එය වියුක්ත සංකල්පයක වියුක්තයකි. අපි වර්ගීකරණය සඳහා එවැනි වියුක්ත සංකල්පවලට දෙවැනි ගණයේ වියුක්ත සංකල්ප යැයි කියමු. අනෙක් අතට මේ එක් එක් ආකාරයේ ත්‍රිකෝණවලට වූ පොදු ගුණය නම් ඒ සියල්ල එකිනෙක ඡෙදනයවන ප්‍රභින්න (distinct) සරල රේඛා තුනකින් නිර්මාණය වී තිබීම ය. ඒ ගුණය පමණක් යොදාගනිමින් නිර්මාණය කෙරෙන ත්‍රිකෝණයක් සාධාරණීකරණයට ලක්කරන ලද ත්‍රිකෝණයක් වෙයි. එවැනි සාධාරිත ත්‍රිකෝණයක් සුළුකෝණී ත්‍රිකෝණ, සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණ, සමපාද ත්‍රිකෝණ ආදී සියළු ත්‍රිකෝණවල සාධාරණිකරණයකි. එවැනි ත්‍රිකෝණයක් ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක් වෙයි. සාධාරිත ත්‍රිකෝණයක් ලෙස ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක් යන්න වියුක්ත සංකල්පයක සාධාරිතයක සාධාරිතයක් වෙයි. අවශ්‍ය නම් එයට තුණ්වැනි ගණයේ වියුක්තයක් යැයි කිව හැකි ය. බටහිර ගණිතයෙහි එලෙස දෙවැනි තුන්වැනි ගණවල පමණක් නොව n වැනි ගණයේ ද වියුක්ත සංකල්ප වෙයි.
පෛතගරස් ප්‍රමේයය සාධනය කෙරෙන්නේ ඕනෑම සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක් සඳහා ය. සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණවල එක් උපකුලකයක් ලෙස සමද්විපාද සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණ වෙයි. (අනෙක් අතට සමද්විපාද සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණ සමද්විපාද ත්‍රිකෝණවල එක් උපකුලකයක් ලෙස ද සැලකිය හැකි ය.) පෛතගරස් ප්‍රමේයය ඒ වර්ගයේ හෝ ඒ වර්ගයට අයත් නොවන්නාවූ හෝ සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණ සඳහා වලංගු වෙයි. පෛතගරස් ප්‍රමේයය සාධනය කිරීමේ දී යොදා ගැනෙන්නේ ත්‍රිකෝණයක එක් කෝණයක් සෘජුකෝණී වීම යන ගුණය ය. ත්‍රිකෝණය සමද්විපාද ද නැත් ද ආදී ගුණ එහි දී යොදා නො ගැනෙයි.
ගණිතයෙහි කෙරෙන මේ සාධාරණීකරණය ඒ අන්දමින් ම වෙනත් ක්‍ෂෙත්‍රයක කළ නො හැකි ය. ග්‍රීකයන්ගේ වියුක්තකරණය හා සාධාරණීකරණය ගණිතයෙන්, විශේෂයෙන් ම ජ්‍යාමිතියෙන්, ඔබ්බට ගියේ නම් ඒ මඳ වශයෙන් ය. ආකිමිඩිස් වැනි විද්වතකු නිශ්චලතාවෙහි ඇති ද්‍රවයක ඉපිලෙන හෝ ගිලෙන හෝ ඝන වස්තු සඳහා යම් මූලධර්මයක් සූත්‍රගත කර ඇති බව සැබෑ ය. එය බටහිර භෞතික විද්‍යාවක ආරම්භය වුව ද එහි එතරම් වර්ධනයක් නො වී ය. සංවාක්‍ය ඇතුළු ඇරිස්ටෝටලීය න්‍යාය ද වියුක්තකරණයක් මෙන් ම සාධාරණීකරණයක් ද විය. එහි උද්ගමනයක් ද වූ බව අමතක නොකළ යුතු ය. න්‍යායෙහි ද ඒ ඒ ප්‍රතිඵල වියුක්ත කර ගනු ලැබුයේ එදිනෙදා දක්නට ලැබෙන වස්තු ආශ්‍රයෙන් ය. දිගින් සමාන වූ කෝටු කෑලි තුනක වියුක්තකරණයෙන් හා සාධාරණීකරණයෙන් ඕනෑම වස්තු හා රාශි සඳහා A = B, B = C නම් B= C ලබාගත හැකි විය. ජ්‍යාමිතිය හා න්‍යාය සම්බන්ධයෙන් එසේ ප්‍රතිඵල වියුක්තකරණයට හා සාධාරණීකරණයට භාජනය කළ ද භෞතික විද්‍යාව සම්බන්ධයෙන් ගත්කල සාර්ථක වියුක්තකරණයකට හා සාධාරණීකරණයකට ග්‍රීකයෝ අසමත්වූහ.
