අපි ත්‍රිකෝණයක කෝණ තුනෙහි ඓක්‍යය ගැන සඳහන් කළෙමු. එය සෘජු කෝණ දෙකක් යැයි සඳහන් ප්‍රමේයයක් යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියෙහි වෙයි. මේ ප්‍රමේයය රඳා පවතින්නේ, එනම් පදනම් වන්නේ යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියෙහි කියැවෙන ස්වසිද්ධි මත ය. විශේෂයෙන් ම සමාන්තර ස්වසිද්ධිය යැයි කියැවෙන ස්වසිද්ධිය මත ය. සමාන්තර ස්වසිද්ධියට වැදගත් ඉතිහාසයක් ඇත. එම ස්වසිද්ධියෙන් කියැවෙන්නේ දෙන ලද සරල රේඛාවකට සමාන්තර ව එම රේඛාව මත නොපිහිටි ලක්‍ෂ්‍යයක් ඔස්සේ එකම එක සරල රේඛාවක් පමණක් ඇඳිය හැකි බව ය. එයින් ඉතා පැහැදිලිව කියැවෙන්නේ එලෙස එක් සමාන්තර රේඛාවක් ඇඳිය හැකි බව හා සමාන්තර රේඛා එකකට වඩා ඇඳිය නොහැකි බව ය.
යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියෙහි ත්‍රිකෝණයක කෝණ තුනෙහි ඓක්‍යය සෘජු කෝණ දෙකක් බව සාධනය කිරීමට මේ ස්වසිද්ධිය යොදා ගැනෙයි. එහි දී ත්‍රිකෝණයෙහි එක් ශීර්ෂයක් ඔස්සේ එහි දී හමු නොවන පාදයට සමාන්තර ව සරල රේඛාවක් අඳිනු ලැබෙයි. ඉන් පසුව සමාන්තර සරල රේඛා හා තිර්යක් රේඛා සම්බන්ධයෙන් ඒකාන්තර කෝණ හා අනුරූප කෝණ සමාන යන ප්‍රමේය උපයෝගී කරගනිමින් හා සරල රේඛාවක ඕනෑම ලක්‍ෂ්‍යයක දී සෘජු කෝණ දෙකක් වේය යන ප්‍රමේය යොදා ගනිමින් සමානයන්ට සමානයන් එකතු කළ විට සමානයන් ලැබේය යන ඇරිස්ටෝටලීය න්‍යායයෙහි ප්‍රතිඵලය ඔස්සේ ත්‍රිකෝණයක කෝණ තුනෙහි ඓක්‍යය සෘජු කෝණ දෙකක් බව සාධනය කෙරෙයි. මේ ඇරිස්ටෝටලීය ප්‍රතිඵලය අන් කිසිවක් නොව A=B හා C=D නම් A+C=B+D යන්න ය. මේ ප්‍රතිඵලය ලබාගත්තේ කෙසේ ද යන්න ගැන බොහෝ දෙනා විමසිලිමත් නො වෙති. ඇතැම් විට ඔවුන් එය තවත් ස්වසිද්ධියක් යැයි සිතනු ඇත. එහෙත් ඇරිස්ටෝටලීය න්‍යායෙහි කියැවෙන අනෙක් ප්‍රතිඵල මෙන් ම එය ද උද්ගමනයෙන් ලබාගන්නකි.
ත්‍රිකෝණයක කෝණ තුනෙහි ඓක්‍යය සෘජු කෝණ දෙකකට සමාන වන්නේ යැයි සාධනය කිරීම යුක්ලීඩීය ස්වසිද්ධි වෙනත් ප්‍රමේය හා ඇරිස්ටෝටලීය න්‍යාය මත රඳා පවතියි. මෙයින් සමාන්තර ස්වසිද්ධිය කාලයක් තිස්සේ බටහිර ගණිතඥයන්ගේ නොමඳ අවධානයට ලක්වූවකි. ඔවුහු එය අනෙක් ස්වසිද්ධීන්ගෙන් වෙනස්වන්නේ යැයි සිතුහ. ඒ ස්වසිද්ධියක් නොව ඇරිස්ටෝටලීය න්‍යාය මගින් අනෙක් ස්වසිද්ධීන්ගෙන් ලබාගත හැකි ප්‍රතිඵලයක් යැයි ඔවුහු කල්පනා කළහ. ඒ අනුව එය අනෙක් ස්වසිද්ධීන්ගෙන් ලබාගැනීමට බටහිර ගණිතඥයෝ උත්සාහ කළහ.
එහෙත් දහනවවැනි සියවසේ දී ඔවුන්ට සමාන්තර ස්වසිද්ධිය ද යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියෙහි අනෙක් ස්වසිද්ධි මෙන් ම තවත් ස්වසිද්ධියක් බවත් එය අනෙක් ස්වසිද්ධීන්ගෙන් ලබාගත හැකි ප්‍රතිඵලයක් නොවන බවත් අවබෝධ විය. එබැවින් ඒ ස්වසිද්ධිය ද යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියෙහි තවත් ස්වසිද්ධියක් ලෙස සලකණු ලැබිණි. ඉන්පසු බටහිර ගණිතඥයන්ට අපූරු අදහසක් ඇතිවිය. මේ වන විට ග්‍රීකයන්ගේ කාලයෙහි මෙන් නොව ජ්‍යාමිතිය බටහිර ගණිතයෙහි කොටසක් බවට පත් වී තිබිණි. ග්‍රීකයන්ට යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතිය යම් ප්‍රමාණයකට වුව භෞතික වූ අවකාශය නිරුපණය කරන්නක් විය. ග්‍රීකයන්ට එය ගණිතමය යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතිය නොවූ බව අමතක නොකළ යුතු ය. ඔවුන්ට එය ජ්‍යාමිතිය විය. ඔවුන්ට එය භෞතික අවකාශයේ ජ්‍යාමිතිය වූ අතර වෙනත් ජ්‍යාමිති නො වී ය.
එහෙත් දහනවවැනි සියවස වන විට බටහිර ගණිතයෙහි ස්වසිද්ධි භෞතිකයෙන් ස්වායත්ත වී තිබිණි. ස්වසිද්ධි ඊනියා සත්‍ය වීය යුතු ය යන්න බටහිර ගණිතයෙන් ක්‍රමයෙන් ඉවත් කෙරීම හේතුවෙන් ස්වසිද්ධිවලට සත්‍යවීමට අවශ්‍යතාවක් නො වී ය. මෙය බටහිර ගණිතයෙහි ඒ වන විට සිදු වී තිබි ඉතා වැදගත් වෙනසකි. ස්වසිද්ධිවල ඊනියා සත්‍යතාව සෙවීමට අවශ්‍ය නොවූ අතර අවශ්‍ය වූයේ ස්වසිදාධි හා සාධනය කරන ලද ප්‍රමේය එකක් හෝ කිහිපයක් හෝ මත පදනම් වී ඇරිස්ටෝටලීය න්‍යාය ඇසුරෙන් වෙනත් ප්‍රමේය හා ප්‍රතිඵල සාධනය කිරීම ය. ඊනියා භෞතික සත්‍යතාව ඉවත් වී ගණිතමය සත්‍යතාව ආදේශ වී තිබිණි. ගණිතමය සත්‍යතාව යන්නෙන් අදහස් කෙරෙන්නේ ස්වසිද්ධිවල ඊනියා (භෞතික) සත්‍යතාවක් ගැන නොසොයා ස්වසිද්ධි හා ඒ මත ම පදනම් වූ ප්‍රමේය යොදා ගනිමින් ඇරිස්ටෝටලීය න්‍යාය ඇසුරෙන් ලබාගන්නා ප්‍රතිඵලවල සත්‍යතාව ය. එහි දී වැදගත් වන්නේ ඇරිස්ටෝටලීය න්‍යාය පරස්පරතාවලින් තොරව නිවැරදිව යොදා ගෙන ඇත් ද යන්න පමණ ය. ලබාගත් ප්‍රතිඵලවල ඊනියා භෞතික සත්‍යතාවක් සෙවීමට බටහිර ගණිතඥයන්ට අවශ්‍යතාවක් නො වී ය.
බටහිර ගණිතයෙහි ස්වසිද්ධිවල ඊනියා භෞතික සත්‍යතාවක් නොසෙයූ බැවින් සමාන්තර ස්වසිද්ධිය ද සත්‍ය ද නැත් ද යන්න බටහිර ගණිතඥයන්ට වැදගත් නො වී ය. දෙන ලද සරල රේඛාවකට සමාන්තර ව එම සරල රේඛාව මත නොපිහිටි ලක්‍ෂ්‍යයක් ඔස්සේ භෞතික ව ඇඳිය හැක්කේ එක් සරල රේඛාවක් පමණක් ද යන්න බටහිර ගණිතඥයන්ට භෞතික ව වැදගත් වූ කරුණක් නො වී ය. සමාන්තර ස්වසිද්ධිය ද ජ්‍යාමිතියෙහි අනෙක් ස්වසිද්ධිවලින් ස්වායත්ත වූ තවත් ස්වසිද්ධියක් පමණක් බව දැනගැනීමෙන් පසුව බටහිර ගණිතඥයන්ට එම ස්වසිද්ධිය වෙනස් කිරීමට හැකි ය යන අදහස පහළ විය. ඒ අනුව ඔවුහු එම ස්වසිද්ධිය දෙයාකාරයකින් වෙනස් කළහ. එක් ආකාරයකට අනුව දෙන ලද රේඛාවකට සමාන්තර ව ඒ රේඛාව මත නොපිහිටි ලක්‍ෂ්‍යයක් ඔස්සේ රේඛාවට සමාන්තර ව එකදු සරල රේඛාවක්වත් ඇඳිය නොහැකි විය. අනෙක් ආකාරයට කළ වෙනසින් කියැවුණේ දෙන ලද රේඛාවකට සමාන්තරව එම රේඛාව මත නොපිහිටි ලක්‍ෂ්‍යයක් ඔස්සේ වුවමනා තරම් රේඛා ඇඳිය හැකි බව ය.
එවිට සමාන්තර ස්වසිද්ධිය ආකාර තුනකින් ප්‍රකාශ විය. ඒ ආකාර තුන අනුව ජ්‍යාමිති ද තුනක් ලැබිණි. සමාන්තර ස්වසිද්ධිය මුල් ආකාරයෙන් ම ගැනීමෙන් ලැබුණේ යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතිය ය. අනෙක් ආකාර දෙකෙන් ලැබුණු ජ්‍යාමිති යුක්ලීඩීය නොවන හෙවත් නිර්යුක්ලීඩීය විය. නිර්යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතිවල ත්‍රිකෝණයක කෝණ තුනෙහි ඓක්‍යය සෘජු කෝණ දෙකක් නොවීය. එය ස්වසිද්ධියේ ආකාරය අනුව එක්කෝ සෘජු කෝණ දෙකකට වැඩි විය. නැත්නම් සෘජුකෝණ දෙකකට අඩු විය. මෙහි දී කිවයුතු කරුණක් නම් නිර්යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතිවල ත්‍රිකෝණ නිර්මාණය කෙරෙන්නේ සරල රේඛාවලින් නොවන බව ය.
උදාහරණයක් වශයෙන් ගෝලාකර පෘෂ්ඨයක ජ්‍යාමිතිය සලකමු. එහි සරල රේඛා ඇඳිය නො හැකි ය. ගෝලයක පිහිටි ලක්‍ෂ්‍යයක් එහි තවත් ලක්‍ෂ්‍යයකට සරල රේඛාවකින් යා කළ නො හැකි ය. ඇතැමකුට සිතෙනු ඇත්තේ එය කළ හැකි ය කියා ය. එහෙත් මෙහි දී අවධාරණය කළ යුත්ත නම් ලක්‍ෂ්‍ය දෙක යා කරන රේඛාව මුළුමනින් ම ගෝලය මත පිහිටිය යුතු ය යන්න ය. ඒ රේඛාවට ගෝලය පසාරු කර යා නො හැකි ය. අප එහි දී සළකන්නේ ගෝලයහෙි, එනම් අදාළ පෘෂ්ඨයෙහි ජ්‍යාමිතිය මිස වෙනත් අවකාශයක ජ්‍යාමිතියක් නො වේ. මෙය වියුක්ත ගෝලයක් ලෙස ගන්නේ නම් මැනවි.
ගෝලාකර පෘෂ්ඨයක ලක්‍ෂ්‍ය දෙකක් යා කරන පෘෂ්ඨය දිගේ මැනෙන කෙටිම දුර ඇති රේඛාව මහා වෘත්තයක් නමින් හැඳින්වෙයි. මහා වෘත්තයක් යනු ගෝලයේ ප්‍රභින්න ලක්‍ෂ්‍ය දෙකක් හා කේන්ද්‍රය අඩංගු තලයේ හා ගෝලාකාර පෘෂ්ඨයේ ඡෙදනයෙන් ලැබෙන වෘත්තයකි. මහා වෘත්තයක කේන්ද්‍රය ගෝලයේ කේන්ද්‍රයම වෙයි. වෙනත් අයුරකින් කියන්නේ නම් මහා වෘත්තයක් යනු ගෝලාකාර පෘෂ්ඨයේ හා ගෝලයෙහි කේන්ද්‍රය ඔස්සේ යන තලයක ඡෙදනයෙන් ලැබෙන වෘත්තයකි. මහා වෘත්තයක ලක්‍ෂ්‍ය දෙකක් අතර දුර මැනෙන්නේ වෘත්තය දිගේ මිස ලක්‍ෂ්‍ය දෙක යා කරන ගෝලය පසාරු කරමින් යන සරල රේඛාවක් දිගේ නො වේ.
සාධාරණ වශයෙන් පෘෂ්ඨයක් ගත්කල එහි පිහිටි ලක්‍ෂ්‍ය දෙකක් අතර පෘෂ්ඨයේ ම පිහිටි වක්‍රයක් දිගේ දිග මැනෙන කෙටිම දුර ඇත්තේ භූමිතිකයකට (ගඑඔඩඑසඉච) ය. භූමිතිකයක් අර්ථදැක්වෙන්නේ එලෙස වක්‍රය දිගේ මැනෙන දිග අවමයක් වන වක්‍රයක් ලෙස ය. ගෝලාකර පෘෂ්ඨවල භූමිතික මහා වෘත්ත වන අතර තල පෘෂ්ඨයක භූමිතික සරල රේඛා වෙයි. උදාහරණයක් වශයෙන් ගතහොත් ලෝක ගෝලයේ දේශාංශක හා නිරක්‍ෂය මහා වෘත්ත වෙයි. නිරක්‍ෂය හැරෙන්නට අනෙක් අක්‍ෂාංශක මහා වෘත්ත නො වේ. එයට හේතුව අක්‍ෂාංශක ද වෘත්ත වුව ද ඒවා මහා වෘත්ත නො වීම ය. අක්‍ෂාංශකයක් පිහිටි තලයක් ගෝලයේ කේන්ද්‍රය ඔස්සේ නොයන බව පැහැදිලි ය. අපේ පහසුවට ගත්ත ද මේ ගෝලය භෞතික යැයි කියැවෙන ගෝලයක් මිස
ගණිතමය ගෝලයක් නො වේ.
ගෝලයක පිහිටි ත්‍රිකෝණයක කෝණ තුනෙහි ඓක්‍යය සෘජු කෝණ දෙකකට වැඩි ය. ගෝලයක ත්‍රිකෝණයක් සෑදෙන්නේ එකිනෙක ඡෙදනය කරන මහා වෘත්ත තුනක් මගිනි. ඕනෑම පෘෂ්ඨයක ත්‍රිකෝණයක් සෑදෙන්නේ ඒ පෘෂ්ඨයෙහි එකිනෙක ඡෙදනය කරන භූමිතික තුනක් මගිනි. තල පෘෂ්ඨයක සරල රේඛා භූමිතික වන අතර ගෝලාකාර පෘෂ්ඨයක භූමිතික වනුයේ මහා වෘත්ත ය. ගෝලයක පිහිටි ත්‍රිකෝණයක කෝණ තුනෙහි ඓක්‍යය සෘජු කෝණ දෙකකට වැඩි බව ඊනියා භෞතික පෘථිවි ගෝලය සැලකීමෙන් සත්‍යාපනය කළ හැකි ය.
පෘථිවි ගෝලයේ නිරක්‍ෂයෙන් හා දේශාංශක දෙකකින් සෑදෙන ත්‍රිකෝණයක් ගනිමු. මේ ත්‍රිකෝණයෙහි දේශාංභකයක් නිරක්‍ෂය සමග සෘජු කෝණයක් සාදන බව පෙනී යනු ඇත. ඕනෑම දේශාංශකයක් නිරක්‍ෂය සමග ඡෙදනය වීමේ දී සෘජු කෝණයක් තනයි. වෙනත් වචනවලින් කිවහොත් ඕනෑම දේශාංශකයක් නිරක්‍ෂයට ලම්බ වෙයි. දැන් කලින් සලකා බැලූ ත්‍රිකෝණයෙහි කෝණ තුනෙන් දෙකක් ම සෘජු කෝණ බව පෙනී යනු ඇත. ඉතිරි කෝණය උත්තර ධ්‍රැවයෙහි දී හෝ දක්‍ෂිණ ධ්‍රැවයෙහි දී හෝ දේශාංශක දෙක අතර සෑදෙන කෝණය වෙයි. එය නිශ්ශූන්‍ය බැවින් ත්‍රිකෝණයෙහි කෝණ තුනෙහි ඓක්‍යය සෘජු කෝණ දෙකකට වැඩි වෙයි. කඩදාසියක් ගෙන ගෝලයක හරස්කඩක් ඇඳ එහි දේශාංශක දෙකක් හා නිරක්‍ෂය ලකුණු කිරීමෙන් මෙය තවදුරටත් පැහැදිලි වනු ඇත.
පැහැදිලිව ම ගෝලාකර පෘෂ්ඨයක ජ්‍යාමිතිය යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියක් නො වේ. යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතිය යනු ජ්‍යාමිති රාශියකින් එක් ජ්‍යාමිතියක් පමණකි. අප මෙහි දී සැලකුවේ ද්විමාන ජ්‍යාමිති පමණ ය. එනම් තලයක හෝ වෙනත් පෘෂ්ඨයක හෝ ජ්‍යාමිති ය. වක් නොවූ කඩදාසියක ජ්‍යාමිතිය යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියක් යැයි කියැවෙයි. ගෝලාකාර පෘෂ්ඨයක එසේත් නැත්නම් බිත්තරයක පෘෂ්ඨයෙහි ජ්‍යාමිතිය නිර්යුක්ලීඩීය වෙයි. එහෙත් ත්‍රිමාන ජ්‍යාමිති ද වන බව අපි දනිමු. අප ජීවත්වන්නේ ත්‍රිමාන ජ්‍යාමිතියක් ඇති අවකාශයක ය. ගඩොලක් ත්‍රිමාන වස්තුවකි. එහි ජ්‍යාමිතිය යුක්ලීඩීය යැයි සැලකෙයි.
එහෙත් අප මතක තබාගත යුතු කරුණක් නම් අප මෙහි දී ද ඉහත සඳහන් අවස්ථාවන්හි දී ද භෞතික හා ගණිතමය අවකාශ පටලවා නොගත යුතු බව ය. ගණිතමය යුක්ලීඩීය ද්විමාන ජ්‍යාමිතිය වියුක්ත වූවකි. තල කඩදාසියක ජ්‍යාමිතිය යුක්ලීඩීය ද්විමාන යැයි සැලකෙන්නේ යැයි අපි කීවෙමු. එය එසේ වන්නේ ඉතා සන්නිකර්ෂණව ය. තල කඩදාසියක් යනු ඊනියා භෞතික වස්තුවකි. එවැනි වස්තුවක් ඊනියා යථාර්ථයක් ලෙස පවතින්නේ යැයි ඉන් නො කියැවෙයි. අපි සම්මුතියෙන් තල කඩදාසියක් භෞතික වස්තුවක් ලෙස ගනිමු. තල කඩදාසියක ජ්‍යාමිතිය ද්විමාන යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියක් වන්නේ සන්නිකර්ෂණව ය. අයින්ස්ටයිනීය සාපේක්‍ෂතාවාදය අනුව තල කඩදාසියක ජ්‍යාමිතිය යුක්ලීඩීය විය නො හැකි ය. එය යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියෙන් ඉතා සුළුවෙන් නමුත් වෙනස් වෙයි.
