A=A විය හැකි ද?
එක් අයකු අහලා තිබුණා A=A ගැන ප්‍රශ්නයක්. මෙය සාමාන්‍යයෙන් ඇරිස්ටෝටලීය න්‍යාය එහෙමත් නැත්නම් රූපික ද්විකෝටික, එනම් අන්ත හෙවත් කෝටික දෙකක් පමණක් ඇති න්‍යායේ මුල. මෙතනින් තමයි ඒ න්‍යායේ හැම දෙයක් ම පටන් ගැනෙන්නෙ. බටහිර ගණිතය කෙරෙන්නෙ මෙය උපකල්පනය කරමින් කියලා බටහිරයන් හිතනවා. ඒත් පාසලේ කියන විධියට කලනයේ දී නැත්නම් විශ්වවිද්‍යාලයේදී කියන විධියට විශ්ලේෂණයෙහි දී සීමාව හොයන විට මෙය අනුගමනය කෙරෙන්නේ නැහැ. ඒ නිසා ම වක්‍රයකට ස්පර්ශක අඳින කොට, අංශුවක ප්‍රවේගය හොයන විට බොරුවක් කරනවා. ඇතැම් බටහිරයන්ටත් මේ බොරුව තේරෙනවා. ඔවුන් සීමාව නැති කලනයක් ගැන කතා කරනවා. එහෙත් බොරුවෙන් ගොඩ එන්න බැහැ.
1960 දී පමණ රොබින්සන් කියලා ගණිතඥයෙක් අත්‍යුනක (infinitesimals), එනම් ඉතා කුඩා රාශි සමග සීමාව නැති කලනයක් පටන් ගත්තා. රොබින්සන් ජර්මන් සම්භවයක් ඇති යුදෙවු වර්ගයට අයත් වූවෙක්. මේ සීමාවේ කතාව බොහෝ ඈතට යනවා. වෘත්තයක වර්ගඵලය සෙවීමේ දී ග්‍රීකයන් වෘත්තය ඉතා කුඩා (අත්‍යුනක) ත්‍රිකෝණවලට බෙදුවා. එ ඉතා කුඩා ත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලය සොයා එය ත්‍රිකෝණ සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කර වෘත්තයේ වර්ගඵලය සොයාගත්තා. එහෙත් ඒ ක්‍රමයෙහි ප්‍රශ්න තිබුණා. ත්‍රිකෝණ ඉතා කුඩා වුවහොත් ඉන් එකක වර්ගඵලය ශූන්‍ය වෙනවා. එවිට වෘත්තයේ වර්ගඵලයත් ශුන්‍ය වෙනවා. අනෙක් අතට ත්‍රිකෝණ සංඛ්‍යාව ඉතා විශාල වුවහොත් එවිට වෘත්තයේ වර්ගඵලය ඉතා වැඩි වෙනවා, අනන්තයක් වෙනවා. මේ ක්‍රමයේ පරස්පර තිබුණ නිසා යුක්ලිඩ් තම ජ්‍යාමිතිය පොත්වලට එය ඇතුල් කෙළේ නැහැ.
පසුව නිවුටන් හා ලයිබ්නිට්ස් කලනය ඉදිරිපත් කිරීමේ දී අත්‍යුනක යොදා ගත්තා. එහි පරස්පර තිබුණා. ඇතැමකු කියන ආකාරයට යුක්ලිඩ් කලනයත් තම පොත්වලින් ඉවත් කිරීමට තිබුණා. නිවුටන් හා ලයිබ්නිට්ස් යුක්ලිඩ්ට පසුව ජීවත් වූ නිසා බේරුණා. මෙහි දී බටහිර පොත්පත්වල නැති කතාවක් කියන්න තිබෙනවා. නිවුටන්ලාට පෙර හයවැනි සියවසේ ජීවත් වූ ආර්යභට්ට කලනය පිලිබඳ අදහස් ඉදිරිපත් කර තිබෙනවා. ඔහු ගණිතඥයෙකු මෙන් ම තාරකා විද්‍යාඥයකු ද වූවා. පෘථිවිය තම අක්‍ෂය වටේ භ්‍රමණය වන බව ඔහු කියා තිබෙනවා. ඔහු උදේනි නගරය මැදින් යන රේඛාවක් (අක්‍ෂාංශකයක්) නිරක්‍ෂය මත වූ ලංකාව නමැති තැනක ඡෙදනය වන බව සඳහන් කර තිබෙනවා. අද ග්‍රිනිච් ඔස්සේ යන අක්‍ෂාංශකය මෙන් එකල වැදගත් තැනක් ගත්තේ මේ රේඛාවයි. මේ ලංකාව කුමක් දැයි කිසිවකු දන්නේ නැහැ. එය අපේ රටට තරමක් නිරිතදිගට පිහිටා තිබෙනවා. මේ රේඛාව ලග්ගල හරහා ගිය බවත් කියනවා. මට මේ ගැන නිශ්චිත අදහසක් කියන්න බැහැ. සමහර විට අපේ රට බොහෝ කලකට පෙර විශාලව තියෙන්න ඇති. එසේත් නැත්නම් නිරක්‍ෂය අපේ රට හරහා යන බව සිතන්න ඇති. මා දන්නේ නැහැ. ආර්යභට්ට නර්මදා නදිය හා ගෝදාවරී නදිය අතර ප්‍රදේශයක ඉපද ඇති බවත් එකල පාඨලීපුත්‍ර නගරයේ (අද පැට්නා) පැවති නාලන්දා විශ්වවිද්‍යාලයේ ප්‍රධානියාව සිටින්නට ඇති බවත්් විශ්වාස කරනවා. නාලන්දාව බෞද්ධ විශ්වවිද්‍යාලයක් බවත් මහාවිහාරය හා අභයගිරිය එයට වඩා පැරණි බවත් අමතක කරන්න එපා. ආරියභට්ට ත්‍රිකෝණමිතිය වීජය ආදිය ගැන දැනුමක් තිබූ අයෙක්. සයින් යන්න බිඳී එන්නේ අර්ධජ්‍යා යන වචනයෙන්. සයිනයට එදා කිවුවේ අර්ධජ්‍යා කියායි. මේවා ගැන යාපන විශ්වවිද්‍යාලයේ හා අනෙක් විශ්වවිද්‍යාලවල ශිෂ්‍යයන් එකට එකතු වී කවදා හරි සොයා බලාවි යැයි මා ප්‍රාර්ථනා කරනවා.
අත්‍යුනක යොදා ගනිමින් කළ කලනය පරස්පර සහිත වූ බැවින් පසුව කෞචි (කෝෂි), වයර්ස්ට්‍රාස් ආදී ගණිතඥයන් සීමාව යන සංකල්පය අද අප ඉගෙන ගන්නා ආකාරයට වර්ධනය කළා. එහෙත් අවකලනය කියන සංකල්පය පරස්පරයක් නැතිව ඉදිරිපත් කිරීමට තවමත් බැහැ. රොබින්සන් තැත් කෙළේ නැවතත් අත්‍යුනකවලට යෑමටයි. එහෙත් මට තේරෙන විධියට එයත් කොළේ වසා ගැහීමක්. ඔහු එක් අවස්ථාවක අත්‍යුනක ශූනය ලෙස නොගෙන එයින් බෙදා ඉන්පසු පියවරක දී ඒ නොසළකා හරිනවා. ප්‍රශ්නය ඇත්තේ එතැනයි. අත්‍යුනකයක් ශූන්‍ය ද නැද්ද?
බටහිර ගණිතය හා ඇරිස්ටෝටලීය න්‍යාය අනුව නම් රාශියක් එක්කෝ ශූන්‍ය විය යුතුයි, නැත්නම් නිශ්ශූන්‍ය විය යුතුයි. ඒ දෙකම වන්නට බැහැ. තවත් ටිකක් වියුක්තව කියනවා නම් A එක්කෝ B ට සමාන විය යුතුයි, නැත්නම් අසමාන විය යුතුයි. ඒ දෙකම වන්නට බැහැ. එහෙත් අවකලනය කිරීමේ දී නිවුටන්ට අනුව කළත් රොබින්සන්ට අනුව කළත් වයර්ස්ට්‍රාස්ලාගේ සීමාව අනුව කළත් ඒ දෙකම වන්නට ඕනෑ. ආර්යභට්ට සමහර විට ඒ දෙකම වනවා යැයි ගන්නට ඇති. ඒ ගැනත් මා නිශ්චිත ව දන්නේ නැහැ.
A, B ට සමාන වීම පැත්තකින් තියා A, A ට සමාන විය හැකි ද යන ප්‍රශ්නය අසමු. එසේ සමාන වන්නේ නම් එයින් අදහස් වන්නේ කුමක් ද? එය ක්‍ෂණයක දී සිදුවන්නක් පමණක් ද? ක්‍ෂණයක් යනු කුමක් ද? යමක් ක්‍ෂණයක දී පවතින්නේ ද? ඔබ ඔබට සමාන ද? ඔබ ළමා කාලයේ සිටි ඔබට සමාන ද? මෙයට මොහොතකට පෙර සිටි ඔබට සමාන ද? ඔබ වෙනස් වන්නේ ද? මා නම් දැන් මහළු වියේ. ඔබත් මහළු වෙයි ද? එවිට ඔබ, දැන් ඔබට සමාන වේ ද? ඔබේ සිතුම් පැතුම් වෙනස් නොවී පවතී ද? දැන් ඔබ හා එවිට ඔබ ගැන කතා කිරීම හරි ද?
මේ පැවැත්ම පිළිබඳ ප්‍රශ්න. පාඨලීපුත්‍ර නගරයේ දී ම අශෝක රජුගේ කාලයේ තුන්වැනි සංගායනාවේ දී මේ ප්‍රශ්න සාකච්ඡා වී තිබෙනවා. ක්‍ෂණවාදය හා ධර්මවාදය නමින් අද හැඳින්වෙන්නේ ඒ සාකච්ඡාවල ප්‍රතිඵලයි. ක්‍ෂණයක් හරි ධර්මයක් පවතින්නේ යැයි කීම මට තේරෙන විධියට නම් ආත්මවාදීයි. ධර්මයක් යනුවෙන් කතාකිරීම පවා වැරදියි. ක්‍ෂණයකට වුවත් මා කියා කෙනකු ඇතැයි ගැනීම වැරදියි. A, A ට සමාන යැයි ගැනීම ආත්මවාදීයි. වෙනස්වීමක් මිස වෙනස්වන්නක් නැහැ. එහෙත් මේ වෙනස අප වෙනස්වන්නක් ලෙස ගන්නවා. එසේ නොමැතිව අපට ජීවත්වන්න බැහැ. අප ජීවත්වන්නේ බොරුවෙන්මයි. බටහිර විද්‍යාව පට්ටපල් බොරු.
අවකලනයේ දී කියැවෙන්නේත් වෙනස්වීමක් ගැන. ප්‍රවේගය, ස්පර්ශක මේ සියල්ල වෙනස්වීම සමග බැඳිලා. එහෙත් වෙනස්වන දෙයක් නැහැ. අප වෙනස්වන දෙයක් ඇතැයි ගන්නවා. ක්‍ෂණයක් කියන්නේ අත්‍යුනක කාලයක්. ක්‍ෂණයක් තියෙන්න බැහැ. එහෙත් ක්‍ෂණයක් තියන බවක් අපට ගන්න වෙනවා. ක්‍ෂණය ශූන්‍ය ද නැද්ද? ඒ දෙකම ද? ඒ දෙකම නොවෙයි ද? අප මේ එන්නේ චතුස්කෝටිකයටයි (එක් අයකුට අනුව සිව්කොන්), අන්ත හතරකටයි. බුදුන්වහන්සේ දේශනා කළේ පවතිනවා කීවත් පවතින්නේ නැතැයි කීවත් වැරදි බවයි. බුදුන්වහන්සේ ප්‍රත්‍යක්‍ෂයෙන් අවබෝධ කරගත් දේ අප වැනි පෘථග්ජනයන්ට තේරෙන විධිහට එසේ දේශනා කර තිබෙනවා. සමහර ප්‍රශ්නවලට බුදුන්වහන්සේ පිලිතුරු දුන්නේ ම නැහැ. අවකලනයේ ප්‍රශ්නය විසඳීම සඳහා අපි දැනට අත්‍යුනක ශුන්‍යයට සමාන මෙන් ම අසමාන යැයි ගනිමු. ඒ වුනත් දැනට කියන්නේ මොකක් ද?
මේ ලිපිය ද තවත් ලිපි ද මුහුණු පොතෙන් ද කියවිය හැකි යි.
(https://www.facebook.com/Nalin-de-Silva-188511888194878/)
නලින් ද සිල්වා
2016 ජූලි 23
